Bonjour à tous !
Voici le premier article de ce blog créé par Romain et Sylvain. Nous vous parlerons de pédagogie, de mathématiques et de tout ce qui concerne les sciences en général. Restez à l’écoute !
Pour commencer, je vais vous parler de la notion de fractale. Une fractale est très intéressante du point de vue des mathématiques mais aussi très esthétique. Un petit plongeon dans l’océan des maths : qu’est-ce une fractale ? C’est une courbe ou une surface de forme irrégulière qui se répète au sein d’elle même avec des motifs de plus en plus petits. Voici l’exemple de l’Ensemble de Cantor ci-dessous.
Fractale Ensemble de Cantor
A l’ordre 0 (en haut), nous voyons un segment avec deux paires de ciseaux qui le coupent en trois. Lorsque l’on dupplique le segment en dessous et que l’on garde ses extrémités gauche et droite, nous obtenons l’ordre 1 avec deux nouveaux segments plus petits (et les paires des ciseaux). Ainsi de suite, nous avons l’ordre 2, 3, etc avec des segments de plus en plus petits. On remarque que chaque morceau de la fractale (par exemple les segments en bas à gauche) est identique à la fractale entière.
Courbe de Peano :
Fractale Courbe de Peano
La Courbe de Peano parcourt la surface d’un carré en suivant un chemin très précis. Elle est continue et ne se coupe pas. A l’ordre 0 (en haut à gauche), celle-ci est très simple. A des ordres supérieurs, la courbe change de plus en plus souvent de direction jusqu’à remplir la surface du carré (à l’ordre infini).
La fractale suivante est le Flocon de Von Koch. Voici le concept : on fait pousser une petite montagne triangulaire sur chaque segment : on obtient un chapeau de sorcière à l’ordre 0. Voyez ce qu’on obtient ensuite en dessinant un nouveau triangle sur chaque segment, c’est plutôt joli non ?
Fractale Flocon de Von Koch
Si vous placez une loupe sur chaque portion de la courbe, vous retrouverez forcément un motif identique à la courbe en elle-même comme le précise la définition de la fractale. Autre exemple, le Tapis de Sierpinski. Pour dessiner cette fractale, il faut découper la surface en 9 petits carrés et colorier en noir la surface centrale. Il suffit de recommencer avec les huit autres carrés blancs pour continuer la fractale à l’ordre suivant.
Fractale Tapis de Sierpiński
Le Tapis de Sierpinski a son équivalent « Triangle ». Ce concept peut-être étendu à la 3D avec des cubes et des pyramides.
Fractale Triangle de Sierpinski
Grâce à ces quelques exemples, vous avez sans doute compris ce qu’est une fractale ! Savez-vous que beaucoup d’entre-elles sont très esthétiques ? Regardez la Fougère de Barnsley : chacune de ses parties est en fait une nouvelle fougère identique à la plus grande. Il est possible de dessiner des milliers de fougères de plus en plus petites les unes sur les autres !!
Fractale Fougère de Barnsley
Je termine sur une fractale plus complexe qui représente l’un des nombreux Ensembles de Julia. Elle est générée par une équation mathématique de type « complexe » (je ne m’apesantis pas là dessus) et prend des jolies formes et couleurs.
Fractale Ensemble de Julia
Je vous invite à faire quelques recherches sur internet afin d’explorer le monde esthétique des fractales. Dites-moi en des nouvelles et n’hésitez pas mettre des commentaires et des liens vers les fractales les plus exotiques !
Sylvain
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