Thalès mesure les arbres

Bonjour à tous !

Je profite de cette rentrée pour vous présenter un exercice intéressant et le résoudre sur cette page. Vous êtes-vous déjà demandé quelle était la taille d’un arbre ? Comment faire pour le mesurer sans pour autant grimper à sa cime ? Il existe une technique facile à réaliser qui nécessite seulement un mètre mesureur et un bâton droit de quelques décimètres. Au passage, nous remarquerons que l’arbre ci-dessous a été conçu grâce à des techniques fractales.

Voici un arbre créé par la magie des fractales.

Processus pour mesurer un arbre

1. Placez-vous à une distance respectable de l’arbre selon sa taille : plus l’arbre est grand, plus vous devez vous placer loin.
2. Prenez le bâton, mesurez sa longueur, et tenez le verticalement devant vous à bout de bras.
3. Mesurez la distance horizontale entre votre corps et le bâton.
4. Faites en sorte que votre oeil voit le bâton et l’arbre de la même taille. Si le bâton est plus grand que l’arbre, reculez-vous. Si le bâton est plus petit, avancez.
5. Une fois que l’arbre et le bâton se superposent, mesurez la distance qui vous séparent de l’arbre.
6. Calculez la hauteur de l’arbre.

Ce schéma illustre la procédure :

Voici comment on mesure un arbre : placez votre bâton devant vous et bougez pour que celui-ci recouvre l'arbre selon votre oeil !

Etude du triangle rouge

Le personnage superpose son bâton et la hauteur de l’arbre. Pour son oeil, ces deux entités ont la même hauteur même s’ils sont à des distances différentes : l’ouverture de l’angle de vue est la même. Ce phénomène est représenté par le triangle rouge : l’oeil du bonhomme est le point A, le bâton est le segment [BD] et l’arbre est le segment [CE]. De plus, le bâton est vertical donc la droite passant par le bâton est perpendiculaire à un sol plat : (BD) est perpendiculaire au sol. De plus, le segment qui représente la hauteur de l’arbre est vertical, donc la droite passant par l’arbre est perpendiculaire à un sol plat : (CE) est perpendiculaire au sol.

Je vais rappeler ici une propriété importante apprise au collège : Deux droites perpendiculaires à une même troisième (droite) sont parallèles entre elles.

Or (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la même droite (sol). D’après la propriété précédente, (BD) et (CE) sont parallèles. Dans le triangle ACE, nous avons les points A, B, C alignés et A, D, E alignés dans le même sens.

Un triangle, des parallèles, des points alignés dans le même sens : cela ne vous rappelle rien ? Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès.

Nous avons donc dans ce triangle l’équation numéro (1) : AB/AC = AD/AE = BD/CE

Appliquons le théorème de Thalès dans ce triangle rouge.

Grâce au théorème de Thalès dans le triangle rouge, nous pouvons calculer le rapport AB/AC grâce au rapport BD/CE (qui représente la longueur du bâton sur la hauteur de l’arbre). Nous verrons plus tard comment utiliser ce rapport AB/AC pour trouver la hauteur de l’arbre.

Etude du triangle bleu

Le triangle bleu CAH a comme côté le bonhomme (segment [AH]), la distance (segment [CH]) entre le bonhomme et le pied de l’arbre et le segment [CA] (pied de l’arbre vers tête du bonhomme). Sur les segments [CA] et [CH] se trouvent respectivement les points B et G qui représentent respectivement le bas du bâton et le point sur le sol en dessous de bâton : nous voyons que la droite (BG) est perpendiculaire au sol.

De plus, comme le bonhomme se tient debout, la droite (AH) est perpendiculaire au sol. Comme tout à l’heure, on utilise la propriété vue au dessus pour prouver que (AH) et (BG) sont parallèles.

On a donc un triangle CAH avec les points C, G, H alignés et C, B, A alignés dans le même sens. De plus, (AH)//(BG). D’après le théorème de Thalès, nous pouvons affirmer l’équation numéro (2) : CB/CA = CG/CH =  BG/AH.

Appliquons le théorème de Thalès dans ce triangle bleu.

Grâce au théorème de Thalès dans le triangle bleu, nous pouvons calculer le rapport CB/CA grâce au rapport CG/CH (qui représente la distance à l’arbre moins la longueur horizontale du bras sur la distance à l’arbre). Nous verrons un peu plus tard comment utiliser ce rapport CB/CA pour trouver la hauteur de l’arbre.

Côté violet commun aux deux triangles

Le triangle rouge et le triangle bleu ont un côté commun [AC] sur lequel il y a le point B. Les deux applications (rouge et bleue) du théorème de Thalès ont fait appaître deux rapports : AB/AC et CB/CA. Or d’après les figures AB = AC – BC. Comme dans les distances nous pouvons inverser les lettres, nous avons AB/AC = (AC-BC)/CA = (AC/CA) – (BC/CA) = CA/CA – CB/CA = 1 – CB/CA.

Pour résumer, nous avons l’équations (3) : AB/AC = 1 – CB/CA.

Grâce au côté AC nous pouvons relier les égalités des triangles rouge et bleu.

Rappelons les équations à lesquelles nous étions arrivés :

Rouge (1) :  AB/AC = BD/CE

Bleu (2) : CB/CA = CG/CH

Violet (3) : AB/CA = 1 – CB/CA

Dans l’équation Violet, nous pouvons remplacer AB/CA par BD/CE (grâce à l’égalité de l’équation Rouge) et CB/CA par CG/CH (grâce à l’égalité de l’équation Bleu). On obtient donc :

BD/CE = 1 – CG/CH

(longueur du bâton / hauteur de l’arbre) = 1 – (distance à l’arbre moins la longueur horizontale du bras / distance à l’arbre)

Variables et formule

Une variable est une appelation (nom ou lettre) que l’on peut remplacer par une valeur numérique (nombre). La longueur du bâton est une variable connue que je vais appeler s pour stick en anglais. La distance à l’arbre est une variable connue que je vais appeler L. La longueur du bras est une variable connue que je vais appeler b. La hauteur de l’arbre est une variable inconnue que je vais appeler h. La formule précédente devient donc :

s/h = 1 – (L-b)/L

L’objectif est d‘obtenir h qui est inconnue en fonction de s, l et b qui sont connues. L’égalité doit avoir cette forme : h = quelquechose.

s/h = L/L – (L-b)/L

Nous avons remplacé 1 par L/L.

s/h = (L – L + b)/L

Nous avons factorisé les deux termes sur le même dénominateur (/L). Nous notons que le - de la parenthèse (L – b) devient +.

s/h = b/L

h/s = L/b par inversion car b est différent de 0 (tout comme L),

h = h/s x s = L/b x s = Ls/b

h = Ls/b

La hauteur est égale à la distance à l’arbre multipliée par la longueur du bâton divisées par la longueur horizontale du bras.

Pour L = 10m, s = 80cm et b = 60cm, on a h = 13,3m. Pour conclure, il est conseillé de prendre un bâton qui fait la même longueur hozitontale que votre bras. On aura donc :

h = Ls/b = Lb/b = L

Si s = b, h = L.

Si le bâton et le bras ont même longueur, la hauteur d’un arbre est égale à la distance nous séparant de lui.

Il faudra vous placer loin...

Je vous ai décrit dans cet article comment mesurer un arbre dans la nature et expliqué comment cela fonctionne avec le théorème de Thalès et une équation (je vous montrerai prochainement comment on peut utiliser la trigonométrie aussi). Maintenant vous pouvez vous ballader dans un parc avec votre matériel pour trouver quel est le plus grand arbre (de la région de Rennes, Châteaubourg et Vitré en ce qui nous concerne) !

A bientôt,

Sylvain

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La liste des entrées complémentaires est établie par le module d’extension YARPP.