Responsabilité de l'élève : les Exercices

Cet article traite des besoins que rencontrent les élèves en difficulté et les responsabilités à lesquelles ils doivent faire face. En effet, les séances de soutien scolaire ne peuvent pas remplacer le travail personnel.

Je vais tout d’abord énoncer les difficultés que rencontrent l’élève, puis ce que lui apporte le soutien scolaire. Enfin, j’énoncerai quelles sont les responsabilités de l’élève au cours de la semaine.

Les difficultés qu’il rencontre

Souvent l’élève en difficulté ne maître son emploi du temps, il travaille quand bon lui semble : soit il travaille trop peu, soit il passe de longues heures non-productives devant ses maths et perd du moral quand il n’y arrive pas.

L’élève en difficulté n’a souvent pas de méthode de travail, il ne sais pas comment travailler son cours et ses exercices. Au bout d’un moment, il se sent perdu car on ne lui a jamais appris comment apprendre.

On n’apprend pas à l’élève à trier ce qu’il y a dans le cours. Chaque chapitre est constitué d’une dizaine d’éléments clés que l’élève doit noter sur une feuille et apprendre sur le bout des doigts.

En cas de blocage dans un exercice, l’élève ne sait pas quoi faire pour connaître la réponse. Il a envie d’arrêter de travailler plutôt que d’insister.

Alors comment faire pour résoudre les difficulté de l’enfant ? Que lui apporte le soutien scolaire ?

Les conseils, méthodes et outils dont il a besoin

Tout d’abord, l’enfant a besoin que le professeur de soutien scolaire lui construise un agenda de travail avec des séances d’1h30 (idéal selon moi) réparties dans la semaine. Certaines séances seront basées sur le cours, d’autres sur les exercices.

L’élève ne peut pas apprendre l’intégralité de son cours par coeur. Dans le cours de maths donné par son professeur de l’éducation national, certaines choses sont moins importantes que d’autres. L’intervenant doit synthétiser le cours sous une liste de points-cours que l’élève écrit sur une fiche et retient. Chaque fiche de point-cours contient un nombre précis d’idées. L’élève la cache et la restitue sur feuille.

Quand l’élève bloque sur un exercice, il note sur une page de son cahier d’exercice le point précis sur lequel il bloque. Ensuite, il demande de l’aide à une personne compétente (le prof de soutien scolaire) et note l’astuce de résolution à la suite. Au fur et à mesure, il construit un carnet de résolution d’exercices qu’il mémorisera. Plus le carnet sera complet, plus l’élève sera compétent en maths.

Un cahier de suivi est nécessaire pour diriger la progression de l’élève. L’intervenant peut noter les faiblesse de l’élèves et les devoirs à faire pour le cours suivant.

Le classeur sert à stocker l’ensemble des feuilles de point-cours. L’élève doit avoir ce classeur auprès de lui et réviser ses feuilles tant qu’il peut. Ce classeur peut stocker d’autres informations utiles au soutien scolaire.

Communiquer avec le professeur de soutien scolaire pour demander de l'aide

C’est très bien d’offrir des solutions aux élèves mais ceux-ci ont aussi des obligations vis à vis d’eux-même pour pouvoir progresser. L’intervenant ne peut pas tout faire tout seul.

L’élève responsable : ses obligations pendant la semaine

Les cours de soutien scolaire doivent être la conclusion d’une semaine de travail de fond et le prologue d’une nouvelle semaine d’entrainement mathématique. Si l’élève n’apprend pas son cours ou ne fait pas ses exercices, cela ne sert à rien.

L’élève doit être capable de restituer ses feuilles de cours. Si ce n’est pas acquis, il sera quasiment impossible de travailler efficacement sur les exercices.

De plus, celui-ci doit réaliser un nombre conséquent d’exercices et bloquer dessus pour comprendre ce qui bloque chez lui.

En cas de blocage, il est primordial de communiquer avec le professeur de soutien scolaire pour débloquer la situation. Si ce n’est pas fait, comment progresser ?

Toutes ces actions essentielles ne peuvent se réaliser si l’élève n’a pas acheté son matériel mathématique au début des séances. La première chose à faire est d’acheter les outils nécessaires pour le bon déroulement du cours.

Je vous ai présenter une liste de responsabilités que l’élève doit réaliser sans quoi il ne sera pas capable de progresser. Malheureusement, le professeur de soutien scolaire ne peut pas les réaliser à se place : seulement le motiver.

A bientôt, Sylvain.

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Me revoilà après quelques mois d’inactivité sur ce blog, c’est que tout a un peu changé pour moi ces temps-ci, bref ! Voici un article sur le raisonnement mathématique qui explique aux élèves comment déterminer les données d’un énoncé et bien les utiliser . Bonne lecture

Raisonnement mathématique

Un raisonnement mathématique est un processus de réflexion qui permet d’obtenir un nouveau résultat à partir de données présentes. A partir des informations que tu peux lire dans les énoncés et sur les dessins , tu dois utiliser ton cours et ton esprit pour construire un résultat et répondre à la question. Nous étudions dans cette partie les éléments de raisonnement que tu rencontres régulièrement dans le monde des mathématiques du secondaire.

Le raisonnement mathématique est un processus de réflexion

Donnée

Une donnée est une information présente dans le texte ou sur un dessin. La donnée est vraie et indiscutable. Elle permet d’initier un processus de réflexion qui t’aidera à résoudre ton exercice ou son devoir surveillé. Lors d’un exercice, tu dois lire l’énoncé, regarder les dessins et en faire ressortir les données utiles que tu utiliseras.
Je te suggère fortement de prendre un stylo de couleur et de souligner/encadrer/entourer les données utiles du problème. De plus, tu pourras recopier chaque donnée (après un tiret) sur une feuille de données. Ton esprit doit être capable de repérer et de regrouper l’ensemble des données qui favorisent la réussite de ton exercice : – d’où les couleurs, – d’où la feuille de données.

Texte

La plupart des données sont présentes dans le texte. C’est à toi de les repérer, de les mettre en évidence, de les rassembler et de les classer. Chaque donnée a son utilité, alors n’oublie pas de les utiliser à bon escient ! La figure ci-dessous montre un texte dans lequel il est possible de faire ressortir trois données importantes. Celles-ci te permettent d’initier un processus de réflexion.

Encadre les données pour bien les visualiser

Dessin

Les dessins regorgent aussi de données nécessaires au processus de réexion. Tu dois trouver ces données et les mettre en évidence pour ne plus jamais les oublier ! Regarde sur la figure suivante, les données entourées en rouge te serviront à calculer la longueur du côté [BC].

Entoure les données sur les dessins

Une fois que tu as récupéré et classé toutes les données, tu peux t’en servir pour répondre à la question demandée ! Evidemment, il s’agira de déterminer le bon raisonnement mathématique !

A bientôt !

Sylvain

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Sylvain et moi-même sommes pas mal occupés par nos différents projets autour du soutien scolaire. Nous continuons à poster quand même quelques articles sur ce blog de maths.

Nouveau blog d’exercices de math en ligne

Alors que Sylvain développe avec brio son activité de soutien scolaire dans sa zone géographique, je développe un nouveau blog sur lequel je publie chaque jour (ou presque ) des vidéos de mathématiques. Ce blog s’appelle Star-en-Maths.TV ! Les exos sont du niveau lycée, et plus particulièrement destinés aux élèves de 1ère et Terminale scientifique.

Le concept de ce blog vidéo de Math, Star en Maths TV

Je me mets à la place de l’élève devant sa feuille d’exercice, et je pose des questions. Il ne s’agit pas de résoudre immédiatement un exercice sous ses yeux ébahis, non ! J’essaie de me mettre à sa place. Comment vais-je faire pour répondre correctement à ces questions ?

Certes, tout n’est pas encore parfait, mais j’y travaille ! Vos critiques constructives sont les bienvenues.

« Le pari : Multiplier la moyenne de l’élève de 1ère S par 1.5 avec ces vidéos »

… si bien sûr sa moyenne ne dépasse pas déjà 13.3 sur 20 !

Enfin, puisqu’il faut quand même résoudre l’exercice, je donne la direction, mets en lumière les formules de cours importantes à connaître. Et surtout, j’y parle de méthodes… De méthodes de résolution d’exercice. Car c’est en sachant résoudre un exercice que l’élève augmente effectivement sa moyenne. Il y a bien sûr tout un apprentissage et une préparation pour cela, mais, quand l’élève est seul(e) devant sa copie, les points sont là, mais il lui faut savoir aller les chercher. L’or est sous la roche, mais il lui faut savoir creuser.

Et je prends le pari qu’un élève qui sait résoudre EFFICACEMENT ses exercices, et qui réussit, du même coup, à augmenter sa moyenne va prendre goût aux études. Surtout quand il va voir qu’un bon dossier, qui lui ouvre toutes les portes vers ses rêves, n’est rien d’autre qu’un dossier avec une bonne moyenne sur 20 !

Un autre site du même genre ? Pas tout à fait…

Vous connaissez sans doute ce site du professeur Sylvain Magniez www.video-maths.fr, si non, je vous recommande d’aller le voir. C’est un très bon site.

Mais mon blog se veut différent, au moins sur ces 3 aspects :

1. Sur www.star-en-maths.tv, j’aide en Maths les élèves de 1ère S et de Terminale S exclusivement. Je fabriquerai sans doute des vidéos pour les secondes, ou même pour les autres filières, mais ce n’est pas prévu pour le moment,
2. Je montre ma trombine sur chacune des vidéos, ce qui est plus « humain » à mon sens,
3. Je mets une image de l’énoncé de l’exercice de Maths à chaque début d’article. L’élève peut alors chercher à le résoudre avant de regarder la vidéo.

Sans plus attendre, cliquez sur l’image pour le visiter :

Star-en-Maths.TV commence à marcher…

Je l’ai lancé il y a à peine un mois, il commence à attirer des élèves. Je recherche encore des partenaires sérieux.

Vous êtes professeur particulier à domicile ?

Si vous cherchez une visibilité sur Internet, avec un lien vers votre site depuis Star en Maths TV, alors contactez-moi. Je souhaite vraiment que ce partenariat web soit à « visage humain » ! Pas comme tous ces liens « froids » et « sans âme » qu’on trouve sur tous les sites… Donc, en plus de l’échange de liens, j’aimerais que vous acceptiez une petite interview !

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dans certains films ou séries télévisées, un protagoniste fait ou subit quelque chose de malheureux (rupture sentimentale, alcoolisme, dispute, blessure, etc) suite à un ensemble d’événements qui se coordonnent pour atteindre ce résultat négatif.

Par exemple, Julie perd les clés de la maison et s’en va. Pierre appelle Marc en milieu d’après-midi pour un problème de chimie. Marc laisse la maison ouverte une petite heure car il n’a pas pu trouver les clés pour la fermer et doit absolument aider Pierre car le bac blanc a lieu le lendemain. Au même moment, Vanessa passe devant chez Marc et s’aperçoit que Marc ne ferme pas la porte. Forcément, elle a croisé Julie 20 minutes avant et sait que leurs parents travaillent. Vanessa entre donc et vole un billet de 50 euros laissé sur la table, ni vu ni connu.

Un vol est toujours la conséquence d'une faille de sécurité.

La question est : qui a permis ce vol ? qui est responsable de la faille de sécurité ?

Julie dit : c’est ma faute, si je n’avais pas perdu les clés… Pierre dit : c’est ma faute, si je n’avais pas appelé Marc…  Marc dit : c’est ma faute, si je ne m’étais pas absenté… Le bac blanc dit : c’est ma faute, si je n’avais pas eu lieu demain…

A votre avis ? A qui l’entière responsabilité ?

Je vais vous le dire maintenant, personne ne peut supporter l’entière responsabilité. Le vol est la conséquence de plusieurs conditions nécessaires qui se sont assemblées :

• la perte de la clé,
• le bac blanc le lendemain,
• Pierre qui a eu besoin d’aide,
• l’absence de Marc pour aider Pierre,
• le timing de Vanessa qui a vu que la maison était vide,
• la personne qui a laissé trainer le billet.

Chaque élément pris tout seul ne peut pas permettre le vol du billet de 50 euros, donc aucun n’est une condition suffisante.

Cet article se découpe en trois parties :

1. Définitions des conditions nécessaires et suffisantes,
2. Une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un rectangle,
3. Les conditions nécessaires du théorème de la bijection.

Définitions !

Conditions nécessaires et suffisantes

Une condition nécessaire CN pour avoir un résultat R est une proposition obligatoire sans laquelle le résultat R ne peut être obtenu. Par exemple, l’existence de l’eau est une condition nécessaire à la vie de tout être humain.  Le résultat R est la vie de tout être humain et la proposition obligatoire est l’existence de l’eau. Sans l’existence de l’eau, le résultat R ne peut être obtenu. Par contre, l’existence de l’eau n’est pas une condition suffisante à la vie de tout être humain : il faut de la nourriture, de la chaleur, du dioxygène, etc.

Eau et soleil : respectivement condition nécessaire de vie humaine et condition suffisante de lumière extérieure.

Une condition suffisante CS pour avoir un résultat R est une proposition qui, lorsqu’elle est accomplie, entraîne la réalisation du résultat R. Par exemple, la présence du soleil haut dans le ciel est une condition suffisante à une luminosité extérieure élevée. Par contre, la présence du soleil dans le ciel n’est pas une condition nécessaire à une luminosité extérieure élevée : on peut utiliser des moyens électriques !

Le second point décrit une condition suffisante pour obtenir un rectangle.

Diagonales perpendiculaires de même longueur

La proposition « Ce quadrilatère a des diagonales perpendiculaires de même longueur. » est une condition suffisante pour obtenir le résultat « Ce quadrilatère est un rectangle ». Le cours de quatrième l’atteste et nous n’avons pas besoin de plus pour affirmer la forme rectangulaire du quadrilatère. C’est le principe de la condition suffisante.

Condition suffisante à l'obtention d'un rectangle : diagonales perpendiculaires de même longueur.

Néanmoins, cette proposition n’est pas une condition nécessaire car nous pouvons obtenir  le résultat rectangle sans avoir la proposition « diagonales perpendiculaires de même longueur ».

Deux diagonales de même longueur forment un rectangle.

Suite à notre exemple géométrique de la condition suffisante, l’article vous illustre la condition nécessaire au théorème de la bijection dans la section suivante.

Théorème de la bijection

Pour expliquer la notion de condition nécessaire dans le théorème de la bijection, il faut tout d’abord placer le contexte. Nous avons donc :

• Deux nombres réels a et b tels que a < b,
• Une fonction f définie sur l’intervalle [a,b].

L’objectif est de prouver que pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), il existe une solution unique dans l’intervalle [a,b] tel que f(x) = k. C’est le résultat.

Pour cela, nous devons respecter deux conditions nécessaires :

• f est une fonction continue,
• f est une fonction strictement monotone.

Ici la monotonie n'est pas respectée, donc la solution à l'équation précédente n'est pas forcément unique.

Si f n’est pas une fonction continue, cette condition nécessaire manque donc on ne peut pas appliquer le théorème de la bijection. Si la fonction n’est pas  strictement monotone, nous avons au moins une solution à l’équation, mais celle-ci n’est pas forcément unique : c’est le théorème des valeurs intermédiaires qui ne tient pas compte de la croissance de la courbe.

Les conditions nécessaires prises seules (continuité ou monotonie) sont souvent non suffisantes à l’obtention d’un résultat.

Conclusion

Dans cet article, je vous ai décrit la notion de conditions suffisantes et de conditions nécessaires à travers plusieurs exemples de la vie et des mathématiques. Une condition peut être à la fois nécessaire et suffisante. C’est le cas de la proposition « Un quadrilatère a des diagonales de même longueur » pour « Ce quadrilatère est un rectangle ». Quelle différence par rapport à la deuxième section ? Avez-vous d’autres conditions nécessaires et suffisantes à nous proposer ?

Commentez !

A bientôt,

Sylvain

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Cet article donne quelques clés aux élèves pour résoudre efficacement leur problème. Il se décline en trois parties distinctes :

1. Définir la destination de l’exercice,
2. Déterminer les hypothèses de départ,
3. Le déclic.

Il n'est pas de vent favorable pour celui qui ne sait où il va. Sénèque.

Comme disait notre ami Sénèque (il vous le confirmerait), « Il n’est pas de vent favorable pour celui qui ne sait où il va. ». Pour commencer, cherchons à connaître notre destination avec le premier point.

Définir la destination de l’exercice

Je ne vous  apprendrai rien en vous informant que les exercices comportent une question principale (ou plusieurs) à laquelle il faut répondre. Cette question permet de déterminer la destination de l’exercice, c’est à dire à quoi il faut arriver à la fin de notre raisonnement.

Voici deux exemples :

• Première S – Maths : Soit f une fonction impaire définie en 0, prouvez que f(0) = 0.

Dans cet exercice, vous devez prouver que f(0) = 0. C’est la destination de cet exercice, il faudra arriver à cette conclusion en partant du bon point de départ et en choisissant la bonne route. Surtout ne commencez pas par la fin en affirmant dès le début que f(0) = 0. Vous ne le savez pas car vous n’êtes pas arrivé à destination !

• Quatrième – Physique : Une salle de classe mesure 7 mètres de large, 10 mètres de long et 2,5 mètres de haut. Calculez la masse d’air à pression atmosphérique de la salle de classe en sachant que 1 litre d’air à pression atmosphérique pèse 1,23g.

Cet exercice de physique nous demande de calculer la masse d’air de la salle de classe. Vous remarquerez l’utilisation de l’impératif dans les deux exercices (prouvez, calculez). Pour calculer la masse d’air de la classe, utilisez les informations à disposition dans l’énoncé.

Savoir repérer les éléments clés du raisonnement dans un exercice de sciences : destination, pré-destination, hypothèses, éléments utiles du cours.

Une fois la destination déterminée, vous savez où il faut aller. Il est intéressant de trouver la pré-destination (si possible), c’est à dire l’élément qui précède la destination dans le raisonnement. La pré-destination est parfois plus facile à atteindre en partant du point de départ. Reprenons les deux exercices :

• Première S – Maths : Soit f une fonction impaire définie en 0, prouvez que f(0) = 0.

La destination est f(0) = 0. En réfléchissant un petit peu, nous pouvons convenir qu’il est assez difficile de trouver une pré-destination à cette conclusion sans étudier les hypothèses du contexte. Nous y reviendrons donc plus tard.

• Quatrième – Physique : Une salle de classe mesure 7 mètres de large, 10 mètres de long et 2,5 mètres de haut. Calculez la masse d’air à pression atmosphérique de la salle de classe en sachant que 1 litre d’air à pression atmosphérique pèse 1,23g.

Vous devez calculer la masse d’air de la classe. Attention ! Certains élèves confondent les différentes grandeurs physiques. Une masse c’est quelque chose qui pèse (un poids, un bonhomme sur une balance) et un volume c’est quelque chose qui prend de la place (une bouteille, un espace dans une pièce). Alors que la masse est mesurée en grammes (g), le volume est mesuré en mètres-cube (m³) ou en litres (L).

Revenons à notre pré-destination de la masse d’air de la classe. Comment la déterminer ? Le bon sens nous dit que « plus il y a d’air dans la classe, plus l’ensemble va peser lourd » . Vous êtes d’accord ? Cela n’a rien de plus sorcier qu’une fille qui dit : « plus je prends du volume dans le ventre, plus je pèse lourd ». En conclusion, il faut calculer le volume d’air de la classe pour connaître sa masse ! La pré-destination de cet exercice est : calculez le volume d’air de la salle.

La masse d'air à pression atmosphérique de la classe est liée au volume d'air : Plus il y a de volume, plus il y a de masse". De plus, par hypothèse, 1 litre d'air à pression atmosphérique pèse 1,23g.

Parfois il est utile de jeter un oeil sur les hypothèses pour déterminer une pré-destination efficace. Maintenant que nous avons vu ensemble comment déterminer a et la destination et la pré-destination, passons à la partie sur les hypothèses de départ.

Déterminer les hypothèses de départ

Nous avons vu précédemment comment déterminer la destination et la pré-destination d’un problème. Dans cette partie, je vous propose de profiter un maximum des hypothèses d’un exercice. En effet, les hypothèses sont la base du raisonnement car c’est à partir d’elles et des propriétés qu’elles engendrent que vous commencez votre démonstration. Dans un exercice, je vous conseille fortement de :

1. relire doucement l’énoncé et les résultats des questions précédentes,
2. déterminer chaque hypothèse, la souligner, la numéroter et la recopier dans un tableau,
3. et vous demander en quoi elle peut vous aider en vous rappelant le cours, les théorèmes, les formules, etc.

Reprenons nos deux exemples précédents :

• Première S – Maths : Soit f une fonction impaire définie en 0, prouvez que f(0) = 0.

J’ai souligné l’hypothèse 1 : f est une fonction impaire définie en 0. En me rappelant du cours sur les fonctions impaires, j’en déduis que pour tout x appartenant à l’intervalle de définition dont 0, f(-x) = -f(x). Je peux commencer mon raisonnement à partir de cette donnée.

• Quatrième – Physique : Une salle de classe mesure 7 mètres de large, 10 mètres de long et 2,5 mètres de haut. Calculez la masse d’air à pression atmosphérique de la salle de classe en sachant que 1 litre d’air à pression atmosphérique pèse 1,23g.

Lorsque je lis doucement le texte, je trouve cinq hypothèses :

1. salle de classe : nous avons affaire à un volume parallélépipède rectangle ou pavé. D’après le cours, le volume de la salle se calcule largeur x profondeur (ou longueur) x hauteur.
2. 7 mètres de large : nous avons la largeur du pavé pour calculer le volume de la salle de classe.
3. 10 mètres de long : nous avons la longueur ou profondeur du pavé pour calculer le volume de la salle de classe.
4. 2,5 mètres de haut : nous avons la hauteur du pavé pour calculer le volume de la salle de classe.
5. 1 litre d’air à pression atmosphérique pèse 1,23g : nous en déduisons que si nous connaissons le volume de la classe en Litres, nous pouvons calculer sa masse d’air à pression atmosphérique.

Dans un exercice de maths ou de physique-chimie nous avons besoin d'un déclic pour entamer le raisonnement après avoir analysé les hypothèses et leurs conséquences.

Nous pouvons donc commencer le raisonnement à partir de ces hypothèses et des conséquences qu’elles engendrent. Néanmoins, dans chaque situation, nous avons besoin d’un déclic pour démarrer notre raisonnement. Ceci fait l’objet de la partie suivante.

Le déclic

Le déclic est le moment où l’élève devine comment résoudre l’exercice après avoir déterminé la destination, la pré-destination et après avoir bien étudié les hypothèses, leur implication, et leur éventuel lien avec le cours. Ce déclic donne une direction au raisonnement et l’élève n’a plus qu’à dérouler sa démonstration et ses calculs pour atteindre la pré-destination et la destination.

Nous retrouvons plusieurs types de déclics cités dessous :

• déclic cours : l’élève se rappelle d’un théorème ou une formule du cours qui lui débloque la situation. Grâce à cet élément, il peut foncer vers la destination. Revenons à notre exemple sur la salle de classe avec les hypothèses 1, 2, 3 et 4. L’hypothèse 1 nous donne la forme tridimensionnelle de la classe. Le premier déclic cours est la formule du volume d’un pavé en fonction de ses arêtes (largeur, profondeur, hauteur). Une fois que le volume en mètres-cube est calculé, on regarde la pré-destination et la destination de l’exercice et l’on se rend compte que l’hypothèse 5 nous donne la masse d’un litre d’air : il faut donc calculer le volume d’air de la salle en litres. Or comment passer du volume de la classe en mètres-cube (m³) à un volume en litres (L) ? Le second déclic cours nous dit que 1m³ = 1000L. Il suffit de multiplier le volume de la classe par 1000.

A connaître, surtout chez les jeunes : un cube de 1m³ fait 1000 dm³ soit 1000 litres car 1 dm³ = 1 L.

• déclic astuce : l’élève réalise une astuce de calcul qui lui permet de réaliser une autre action (identité remarquable, etc). Par exemple, factorisons x² – 2x – 8. L’astuce est d’ajouter un et de retrancher un. x² – 2x – 8 = x² – 2x + 1 – 1 – 8 = (x – 1)²  – 9 = (x – 1)² – 3² = (x – 1 + 3)(x – 1 – 3) = (x + 2)(x – 4).
• déclic hypothèse : parfois il suffit de relier plusieurs hypothèses pour avoir le résultat sans même avoir besoin du cours : notamment en réutilisant le résultat de la question précédente. Nous venons de prouver que pour tout x appartenant à l’ensemble des nombres réels, f(x)<=2. La question nous demande quel est le maximum que la fonction f atteint. D’autre part, nous savons que f(1) = 2. Nous pouvons directement répondre que f atteint 2 pour la valeur 1 et que f(x) n’est jamais plus grand que 2 : d’où 2 est le maximum.

Voilà maintenant que je vous ai présenté quelques déclics, c’est aux élèves de les déterminer dans les exercices et de les mémoriser pour une utilisation ultérieure. Je vais néanmoins conclure sur l’exercice présenté au début :

• Première S – Maths : Soit f une fonction impaire définie en 0, prouvez que f(0) = 0. J’en avais déduitt : pour tout x appartenant à l’intervalle de définition dont 0, f(-x) = -f(x). D’où f(-0) = -f(0). Le déclic astuce « ajouter f(0) à chaque membre » me donne : f(-0) + f(0) = -f(0) + f(0). Les deux +/-f(0) de droite s’annulent et on obtient 2 x f(0) = 0, soit quasiment la destination.

Des questions ? Commentez !

A bientôt,

Sylvain

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dans mon article précédent je vous ai présenté les notions de nombres réels et imaginaires que j’ai évoquées en trois parties distinctes :

1. le carré d’un nombre réel,
2. la racine carrée d’un nombre positif,
3. les nombres complexes.

Les deux premières parties ayant déjà été détaillées, concentrons nous sur la troisième, c’est à dire les nombres complexes ! Tout d’abord, la réalité numérale est l’ensemble des nombres réels et est représentée par une ligne continue parcourant toutes les valeurs partant de moins l’infini à plus l’infini en passant par les nombres négatifs, zéro et les nombres positifs.

Construisons ensemble l’imaginaire numéral (l’ensemble des nombres complexes) à partir de cette ligne représentant la réalité numérale en trois étapes :

1. Rotations plates et multiplications réelles
2. Création de l’axe imaginaire
3. Anatomie des nombres complexes

C’est parti pour le premier point !

Rotations plates et multiplications réelles

Plaçons-nous sur la droite des nombres réels et centrons là sur l’abscisse 0 : vous pouvez voir les différentes gradations notamment -1 et 1. Intéressons-nous de plus près à ces nombres ! Nous pouvons affirmer que 0 est le milieu du segment reliant les points -1 et 1 car la distance qui sépare 0 et 1 est la même que la distance qui sépare -1 et 0 : elle est égale à 1.

Comme le point 0 est le milieu du segment [-1,1], -1 est le symétrique de 1 par rapport à 0 dans le cas d’une symétrie centrale. Cela revient à dire que le point -1 est l’image du point 1 par la rotation de centre 0 et d’angle 180°. Vous suivez ?

Maintenant considérons la multiplication ! Par quel facteur faut-il multiplier pour transformer la valeur 1 en valeur -1 ? Vous l’avez deviné, c’est le facteur -1 car 1 x -1 = -1 !

Vous l’aurez compris, sur cette droite des nombres réels, multiplier par le facteur -1 revient à effectuer une rotation d’angle 180°. Et vice-versa, effectuer une rotation de 180° revient à multiplier par -1 !

Allons plus loin en répétant la rotation de 180° deux fois en tout : nous faisons donc un tour complet, c’est à dire un 360° (comme les surfeurs) ! La première rotation de 180° transforme 1 en -1, ce qui correspond à la multiplication par le facteur -1 (comme vu plus haut). La seconde rotation de 180° s’effectue en sens inverse, elle transforme -1 en 1 et correspond aussi à une multiplication par le facteur -1 ! En effet, -1 x -1 = 1.

Cette double rotation transforme donc le point 1 en le point 1, on revient donc au point de départ car on a multiplié le nombre initial 1 par (-1) x (-1) = 1. Nos concluons que la rotation d’angle 360° revient à une multiplication de facteur 1. Ce qui est logique car on a multiplié deux fois par -1 en réalisant deux fois la rotation de 180°.

Dans cette partie, nous avons relié les rotations d’angles plats (180° et 360°) et les multiplications par des facteurs proportionnels à -1 (-1 et 1) : passons à la création de l’axe imaginaire !

Création de l’axe imaginaire

Jusqu’ici nous avons réussi des rotations d’angles plats qui transforment 1 en -1 (180°) ou 1 en 1 (360°)… 180°, 360°, c’est bien joli tout ça, mais qu’en est-il de l’angle préféré des élèves ? Vous savez, celui que l’on trouve dans les rectangles et les triangles de Pythagore : l’angle droit (90°) !

Le Scoop ! Faire une rotation d’un angle 90° de centre 0 va donner une image de 1 en dehors de notre axe des réels au dessus du point 0 ! De plus, si l’on fait deux fois la rotation dans le même sens, on obtient une rotation de 90° + 90° soit 180° ! Et là, on retrouve l’image -1…

Vous vous rappelez certainement de la partie ci-dessus qui affirme de la rotation d’angle 180° est équivalente à une multiplication par le facteur -1. Mais alors, par quoi faut-il multiplier 1 pour obtenir l’image du point 1 par la rotation d’angle 90° ??? Ce facteur de multiplication associé à la rotation d’angle 90° s’appelle i et c’est le nombre imaginaire. Lorsque l’on fait deux rotations successives d’angle 90° (soit une rotation de 180°), on multiplie par i et encore par i. De ce fait, on obtient une multiplication par -1 (pour 180°). D’où la formule :

i² = -1

Pour la première fois, nous obtenons un nombre négatif qui est carré d’un autre nombre ! Cela n’arrive jamais avec les nombres réels mais nous venons d’entrer dans le monde des nombres imaginaires en s’échappant de la ligne droite des nombres réels. Cette porte est la rotation d’angle 90° qui correspond à la multiplication par le nombre imaginaire i. Un nouvel axe perpendiculaire au premier (droite des nombres réels) est créé, il représente l’axe des nombres imaginaires.

Le nombre imaginaire i est né de notre imagination. Grâce à lui, nous pouvons créer le monde des nombres complexes !

Nous pouvons effectuer quelques calculs avec le nombre imaginaire i. Les voici :

1 x i  = i
i x i = -1
-1 x i = -i
i- x i = i

D’une manière générale, multiplier par i (sur notre plan a deux dimensions formé par l’axe des nombres réels et l’axe des nombres imaginaires), revient à faire une rotation d’angle 90° par rapport à 0. Et on peut la répéter autant que vouloir se peut ! C’est pour cela que l’image de 1 est i, l’image de i est -1, l’image de -1 est -i et l’image de -i est 1 (voir les quatre formules ci-dessus).

Nous venons de découvrir les nombres imaginaires : voyons maintenant comment se déclinent les nombres complexes appartenant au plan formé par les deux axes orthonormés (perpendiculaires avec une graduation équivalente).

Anatomie des nombres complexes

Un nombre complexe diffère généralement d’un nombre réel car il s’échappe de la ligne des nombres réels. Il est soit au dessus, soit au dessous (certains peuvent rester sur la droite, ceux-ci sont donc à la fois complexes et réels). L’exemple ci-dessous nous montre trois nombres complexes en bleus :

• 1 + i est en haut à droite, il possède une partie réelle de valeur 1 et une partie imaginaire de valeur i.
• 2 – 1 est en bas à droite, il possède une partie réelle de valeur 2 et une partie imaginaire de valeur -i.
• -1 – i est en bas à gauche, il possède une partie réelle de valeur -1 et une partie imaginaire de valeur -i.

De plus, i est imaginaire pur (sa partie réelle est nulle) et 1 est un réel (sa partie imaginaire est nulle). Tout nombre complexe ayant une partie imaginaire nulle est un nombre réel. De plus, tout nombre complexe ayant une partie réelle nulle est imaginaire pur. Nous apercevons sur la figure du dessous l’axe des réels indiqué par Re et l’axe des imaginaires indiqué par Im.

Tout nombre complexe situé sur le plan possède une partie réelle (ici l'abscisse a) et une partie imaginaire (ici bi avec pour ordonnée b).

Chaque nombre complexe s’écrit de la forme a+bi où a est la partie réelle et bi la partie imaginaire ! Il est possible de résoudre de nombreuses applications mathématiques et physiques à l’aide des nombres complexes (trigonométrie, résolution d’équations du second degré avec discriminant négatif, problèmes d’électricité, etc). Ceci n’étant pas l’objet de mes articles pour l’instant, je vous invite à parcourir la toile pour plus d’informations.

Dans cette suite d’article, je vous ai présenté l‘imaginaire numéral à partir de sa réalité. Nous nous sommes évadés des nombres réels que nous côtoyons chaque jour et nous avons découvert un nouveau type de nombres en rajoutant une dimension (l’axe des imaginaires) à notre esprit.

Je vous laisse à votre imagination,

commentez-la,

Sylvain

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Avez-vous vu Finding Neverland au cinéma ? Ce film sorti en 2004 (l’un de mes favoris), est noté 7.9/10 sur l’imdb et a pour principaux acteurs, Kate Winslet et Johnny Depp (à voir absolument en Version Originale sous-titrée). L’histoire met en valeur l’imaginaire qui se décline comme un nouveau monde créé dans notre esprit à partir de nos pensées. L’imaginaire ne s’oppose pas à la réalité comme certaines personnes négationistes l’affirment (« La réalité existe seule, le reste n’est que bêtise. »), mais la complète. Toute personne peut vivre dans un monde composé d’une réalité et de ses imaginaires, le tout est de les créer et les traverser.

Où l'imaginaire vous emmènera.

Les mathématiques ont aussi leur réalité numérale : les objets qui la composent sont les nombres réels, ils s’étendent de moins l’infini à plus l’infini, en passant par les nombres négatifs, 0 et les nombres positifs. Je citerai, -1000, -3.5, -1, zéro, √2, deux, 7/8, 1000000 par exemple. Et puis un jour, apparut le nombre imaginaire puis ses congénères… Je vous invite à les découvrir en parcourant ces trois notions progressives :

1. le carré d’un nombre réel,
2. la racine carrée d’un nombre positif,
3. les nombres complexes.

Carré d’un nombre réel

Le carré d’un nombre est noté nombre² (avec un petit 2 en exposant) et est le produit de ce nombre par ce même nombre, c’est à dire nombre² = nombre x nombre. Par exemple, 2² = 2 x 2 = 4, 3² = 3 x 3 = 9. C’est aussi valable pour les nombres négatifs, (-10)² = -10 x -10 = 100 (car moins fois moins donne plus). Le carré d’un nombre négatif est égal au carré de son opposé (positif). En effet, le carré de la variable V est égal au carré de la variable -V : (-V)² = (-V) x (-V) = V x V = V². On peut donc affirmer que le carré d’un nombre réel est toujours positif ! Jusqu’ici les exemples que nous avons vu le confirment, bien que ce n’est pas une preuve : 4, 9, 100 ou V² avec V positif ou négatif.

Pour calculer cette surface (en m²), il faut multiplier le côté (en mètres) par lui-même : on obtient le carré du côté.

Le carré d’un nombre permet entre-autres de calculer la surface de la forme géométrique appelée carré à partir de son côté. Si on appelle C la variable valeur du côté, le calcul de la surface se fait en multipliant C par C soit Surface = C x C. La valeur Surface est bien un nombre carré : C² ! Attention, les élèves et peut-être votre enfant commet une lourde erreur avec le carré : ils confondent carré d’un nombre et multiplication par 2. J’ai déjà eu comme dialogue :

« - Alors Julien, quel est le carré de 4 ?

- Le carré de 4 ? Alors 4 x 2, ça fait 8 !

- Non, non et non. Le carré d’un nombre, c’est ce nombre multiplié par lui-même, pas par deux : il faut graver ça dans ta tête ! ».

Je viens de vous présenter le carré d’un nombre réel et le calcul de la surface de la forme géométrique carré, comment fait-on à l’inverse pour passer d’une surface au calcul d’un côté ? On utilise la racine.

Racine carrée d’un nombre réel positif

La racine carrée d’un nombre réel positif est l’opération (fonction transformant un nombre ou plusieurs en un autre nombre) inverse du carré. La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif appelé √nombre tel que √nombre x √nombre = nombre. Considérons le nombre positif 16. D’après la définition, la racine carrée de 16 est le nombre positif appelé √16 tel que √16 x √16= 16. Que vaut-il ? 3 ? Non car, 3 x 3= 9. Alors 5 ? Non, car 5 x 5 = 25. Bon bah 4 ? Oui, car 4 x 4 = 16 : √16 est donc égal à 4 . De plus, bien que (-4) x (-4) = 16, -4 n’est pas la racine carrée de 16 car la racine carrée est un nombre positif et -4 est négatif.

La racine carrée de 2 est le nombre positif √2 tel que √2 x √2 = 2.

Certains élèves font aussi une erreur avec la racine carrée d’un nombre (ce sont souvent les même que ceux de la partie précédente) : ils confondent racine carrée et division par deux. J’ai déjà eu ce dialogue :

« - Alors Maxime, quel est la racine carrée de 25 ?

- La racine de 25 ? Alors 25/2, ça fait euuh, 12.5 !

- Non, non et non. La racine carrée d’un nombre X, c’est le nombre positif √X qui multiplié par lui-même, donne X. Et non pas la moitié de X : il faut mettre ça dans ton cerveau ! ».

Si la surface du carré est égale à 2, son côté est égal à √2 : en effet, le côté est la racine carrée de la surface.

Revenons maintenant au calcul du côté du carré à partir de la surface. Si la surface vaut 2, le côté du carré vaut donc √2 qui vaut 1.41 au centième près. Nous pouvons imaginer un carré de surface 1 avec un côté de longueur 1. De même, un carré de surface 10000 m² a un côté de longueur 100m. En généralisant, on obtient un carré de surface réelle positif X auquel nous associons une fonction Racine √ pour calculer le côté. Nous écrivons cette fonction racine carré : X -> √X définie sur l’intervalle [0 , +∞[ donnant des racines dans le même intervalle. L'intervalle de définition de la fonction racine est l'ensemble des nombres réels positifs qui vont de 0 à +∞ (+ l'infini) car cette fonction ne s'occupe pas des nombres négatifs comme -1, -2, - 1000.

On peut définir une fonction "racine carrée", qui pour tout x égal ou supérieur à 0, calcule la valeur y tel que y fois y = x.

Je vous ai présenté dans cette seconde partie la notion de racine carrée qui est l’opération inverse du carré (carré : x -> x² définie sur ] -∞, +∞<[ donnant des carrés dans [0, +∞<[) que je vous ai présenté dans la première partie.

"- James, pourquoi la racine ne s'occupe-t-elle que des nombres positifs ?

- C'est comme ça Peter, il n'en peut être autrement dans la réalité.

- Mais pourquoi √-4 ne peut pas exister ? ça serait √4 x √- = 2 x √-. ça vaut combien √- ?.

- Laissons parler l' imaginaire et entrons dans le Neverland des nombres complexes..."

La première partie de notre voyage dans la réalité des nombres se termine ici : nous entrerons dans le Neverland numéral lors du prochain article.

A bientôt,

Sylvain

Pourquoi ?

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la semaine dernière je vous ai présenté une méthode pour mesurer les arbres qui s’appuie sur le théorème de Thalès.  Vous pouvez résoudre le problème en utilisant les propriétés trigonométriques des triangles rectangles. Le mot trigonométrique ne doit pas vous faire peur, ni à votre enfant : je vais y revenir plus loin dans l’article.

Reprenons le problème depuis le début : le but est de calculer la hauteur de l’arbre représentée par le côté [CE] du triangle rouge dessiné ci-dessous. Ce triangle rouge démarre de l’oeil du bonhomme qui voir son bâton superposé avec l’arbre. Son bâton est en fait le côté [BD] du triangle ABD. Vous pouvez voir que le pied de l’arbre est plus bas que l’oeil du bonhomme, donc  le côté [AD] du triangle ADE et le côté [AB] du triangle ABD descendent en dessous de la ligne horizontale partant du point A (l’oeil).

Grâce à ce fait, il est possible de découper les triangles ACE et ABD avec cette ligne horizontale qui coupe perpendiculairement les côtés [BD] et [CE] des triangles ABD et ACE. Notons F et G, les points d’intersection de cette ligne partant de A et coupant perpendiculairement [BD] et [CE]. Nous obtenons donc quatre triangles rectangles : le petit AFD et le grand AGE en haut, le petit AFB et le grand AGC en bas. Les petits triangles sont rectangles en F alors que les grands sont rectangles en G.

Vous pouvez mesurer l'arbre en découpant le triangle rouge en deux triangles rectangles avec un côté adjacent commun.

Les triangles du haut (AFD et AGE) et les triangles du bas (AFB et AGC) ont respectivement des côtés communs AF (pour AFD et AFB) et AG (pour AGE et AGC). Comme F est sur BD et G est sur CE, on a naturellement BD = BF + FD et CE = CG + GE.  Gardons ces égalités au chaud pour plus tard : n’hésitez pas les noter auprès de vous.

(1) : BD = BF + FD

(2) : CE = CG + GE

Dans un triangle rectangle, il y a trois angles : un angle droit qui mesure 90°, un angle aigu dont la valeur est inférieur à 90° et un troisième angle égal à 90° moins la valeur du second angle. Dans tout triangle, la somme des angles est égale à 180°. Observez le triangle AĜE ci-dessous : tout d’abord, vous pouvez voir que le côté le plus éloigné de l’angle droit en G est [AE]. Ce côté que l’on appelle l’hypoténuse est le plus long des trois.

L’angle EÂG dont la pointe est le point A est formé (pris en sandwich) par l’hypoténuse et le côté qui relie A et G (le point de l’angle droit). Ce côté reliant l’angle EÂG et l’angle droit est appelé le côté adjacent de l’angle EÂG. D’autre part le côté à l’autre bout du triangle qui ne touche pas le point A (et son angle associé EÂG) est appelé le côté opposé de l’angle EÂG. Cela commence à faire beaucoup ? Je récapitule :

• un point A,
• son angle EÂG,
• l’hypoténuse (AE),
• son côté adjacent (AG),
• son côté opposé (EG).

Trois nombres sont associés à l'angle EAG : ils sont le cosinus, le sinus et la tangente.

C’est ici qu’intervient la trigonométrie ! Je vais vous parler de trigo, cela fait moins peur ! La trigo permet de relier les angles avec les longueurs des côtés grâce à trois nombres que nous appelerons les trigonombres : le cosinus, le sinus et la tangente. Je récapitule :

• les longueurs en centimètres (ou mètres, etc),
• les angles en degrés (il y d’autres unités, passons),
• les trigonombres cosinus, sinus et tangente ne sont pas des angles et n’ont pas d’unité.

Grâce aux trigonombres, nous pouvons calculer les angles à partir des longueurs et calculer les longueurs à partir des angles. Observez les formules sur le dessin ci-dessous. Je vous précise que cos EÂG, sin EÂG et tan EÂG représentent respectivement le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle EÂG. Je répète que les  trigonombres se sont pas des angles : seul EÂG est un angle.

Les trois trigonombres associés à l'angle EAG (cosinus, sinus, tangente) se calculent grâce à la longueur des côtés.

Les trigonombres se calculent grâce au rapport de deux côtés du triangle rectangle. Chaque trigonombre utilise un couple de côtés différents. Rappelez-vous de la définition du côté adjacent, du côté opposé et de l’hypoténuse ! C’est maintenant que ça sert.

• cosinus = côté adjacent / hypoténuse,
• sinus = côté opposé / hypoténuse,
• tangente = côté opposé / coté adjacent.

Pour mesurer notre arbre, nous avons plusieurs valeurs connues : la taille du bâton vertical, la distance à l’arbre horizontale et la longueur horizontale du bras. La valeur inconnue est la hauteur de l’arbre verticale. Observez de nouveau les triangles rectangles précédents. Remarquez-vous que les côtés adjacents des divers angles partant de A sont horizontaux alors que les cotés opposés sont verticaux ?

Comme toutes nos valeurs sont des valeurs verticales et horizontales, je propose d’utiliser une formule dans laquelle l’on trouve côté adjacent et côté opposé. Cela permet de nous débarraser de cet hypoténuse bizarroïde dont nous ne maîtrisons pas les valeurs. Utilisons donc le trigonombre tangente !

C’est maintenant que nous allons calculer le trigonombre tangente dans nos quatres triangles du début. Les angles EÂG et DÂF sont égaux car ils sont pris en sandwich (formés) par les mêmes droites (AD est la même droite que AE car A, D et E sont alignés et (AF est la même droite que AG car A, F et G sont alignés). De même (je vous laisse faire le raisonnement), GÂC et FÂB sont égaux. Comme ces angles sont égaux, leur trigonombres tangente sont égaux aussi. Je résume:

• (3) : tan EÂG = tan DÂF
• (4) : tan GÂC = tan FÂB

On calcule la tangente des quatre triangles (petit rouge, grand rouge, petit bleu, grand bleu) à l'aide des côtés opposés et des côtés adjacents.

Il est temps d’utiliser la formule du trigonombre tangente pour les quatre angles.

• tan EÂG = coté opposé / côté adjacent = EG / AG
• tan DÂF = coté opposé / côté adjacent = DF / AF
• tan GÂC = coté opposé / côté adjacent = GC / AG
• tan FÂB = coté opposé / côté adjacent = FB / AF

D’après les égalités (3) et (4) mentionnées plus haut, nous générons les égalités (5) et (6)  :

• (5) : EG / AG = DF / AF
• (6) : GC / AG = FB / AF

Nous touchons au but. L’addition de deux membres d’une égalité conserve l’égalité.  De (5) et (6), nous pouvons créer l’égalité (7) :

• EG / AG + GC / AG = DF / AF + FB / AF
• (EG + GC) / AG = (DF + FB) / AF
• (7) : (CG + GE) / AG = (BF + FD) / AF

Or les égalités (1)  et (2) vu plus haut nous rappellent que CE = CG + CE et BD = BF + FD donc nous obtenons l’égalité (8) qui donne la valeur de CE :

• CE / AG = BD / AF
• (8) : CE =  BD / AF x AG
  

La valeur de CE représente la hauteur de l’arbre, BD est la longueur du bâton, AF est la longueur horizontale du bras et AG la distance à l’arbre. Vous avez donc la formule de la hauteur d’arbre !

• hauteur =  bâton / bras x (distance à l’arbre)

Je vous ai détaillé comment calculer la hauteur de l’arbre à l’aide de la trigonométrie et nous obtenons la même formule qu’avec la méthode de Thalès. Les arbres de ma région (Rennes, Châteaubourg et Vitré en Ille-et-Vilaine) n’ont plus de secret pour moi ! J’espère que mes explications vous ont été limpides, n’hésitez pas à commenter et à poser des questions !!!

A bientôt,

Sylvain

PS : erreur d’orthographe de l’hypoténuse dans mes dessins, autant pour moi.

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Je profite de cette rentrée pour vous présenter un exercice intéressant et le résoudre sur cette page. Vous êtes-vous déjà demandé quelle était la taille d’un arbre ? Comment faire pour le mesurer sans pour autant grimper à sa cime ? Il existe une technique facile à réaliser qui nécessite seulement un mètre mesureur et un bâton droit de quelques décimètres. Au passage, nous remarquerons que l’arbre ci-dessous a été conçu grâce à des techniques fractales.

Voici un arbre créé par la magie des fractales.

Processus pour mesurer un arbre

1. Placez-vous à une distance respectable de l’arbre selon sa taille : plus l’arbre est grand, plus vous devez vous placer loin.
2. Prenez le bâton, mesurez sa longueur, et tenez le verticalement devant vous à bout de bras.
3. Mesurez la distance horizontale entre votre corps et le bâton.
4. Faites en sorte que votre oeil voit le bâton et l’arbre de la même taille. Si le bâton est plus grand que l’arbre, reculez-vous. Si le bâton est plus petit, avancez.
5. Une fois que l’arbre et le bâton se superposent, mesurez la distance qui vous séparent de l’arbre.
6. Calculez la hauteur de l’arbre.

Ce schéma illustre la procédure :

Voici comment on mesure un arbre : placez votre bâton devant vous et bougez pour que celui-ci recouvre l'arbre selon votre oeil !

Etude du triangle rouge

Le personnage superpose son bâton et la hauteur de l’arbre. Pour son oeil, ces deux entités ont la même hauteur même s’ils sont à des distances différentes : l’ouverture de l’angle de vue est la même. Ce phénomène est représenté par le triangle rouge : l’oeil du bonhomme est le point A, le bâton est le segment [BD] et l’arbre est le segment [CE]. De plus, le bâton est vertical donc la droite passant par le bâton est perpendiculaire à un sol plat : (BD) est perpendiculaire au sol. De plus, le segment qui représente la hauteur de l’arbre est vertical, donc la droite passant par l’arbre est perpendiculaire à un sol plat : (CE) est perpendiculaire au sol.

Je vais rappeler ici une propriété importante apprise au collège : Deux droites perpendiculaires à une même troisième (droite) sont parallèles entre elles.

Or (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la même droite (sol). D’après la propriété précédente, (BD) et (CE) sont parallèles. Dans le triangle ACE, nous avons les points A, B, C alignés et A, D, E alignés dans le même sens.

Un triangle, des parallèles, des points alignés dans le même sens : cela ne vous rappelle rien ? Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès.

Nous avons donc dans ce triangle l’équation numéro (1) : AB/AC = AD/AE = BD/CE

Appliquons le théorème de Thalès dans ce triangle rouge.

Grâce au théorème de Thalès dans le triangle rouge, nous pouvons calculer le rapport AB/AC grâce au rapport BD/CE (qui représente la longueur du bâton sur la hauteur de l’arbre). Nous verrons plus tard comment utiliser ce rapport AB/AC pour trouver la hauteur de l’arbre.

Etude du triangle bleu

Le triangle bleu CAH a comme côté le bonhomme (segment [AH]), la distance (segment [CH]) entre le bonhomme et le pied de l’arbre et le segment [CA] (pied de l’arbre vers tête du bonhomme). Sur les segments [CA] et [CH] se trouvent respectivement les points B et G qui représentent respectivement le bas du bâton et le point sur le sol en dessous de bâton : nous voyons que la droite (BG) est perpendiculaire au sol.

De plus, comme le bonhomme se tient debout, la droite (AH) est perpendiculaire au sol. Comme tout à l’heure, on utilise la propriété vue au dessus pour prouver que (AH) et (BG) sont parallèles.

On a donc un triangle CAH avec les points C, G, H alignés et C, B, A alignés dans le même sens. De plus, (AH)//(BG). D’après le théorème de Thalès, nous pouvons affirmer l’équation numéro (2) : CB/CA = CG/CH =  BG/AH.

Appliquons le théorème de Thalès dans ce triangle bleu.

Grâce au théorème de Thalès dans le triangle bleu, nous pouvons calculer le rapport CB/CA grâce au rapport CG/CH (qui représente la distance à l’arbre moins la longueur horizontale du bras sur la distance à l’arbre). Nous verrons un peu plus tard comment utiliser ce rapport CB/CA pour trouver la hauteur de l’arbre.

Côté violet commun aux deux triangles

Le triangle rouge et le triangle bleu ont un côté commun [AC] sur lequel il y a le point B. Les deux applications (rouge et bleue) du théorème de Thalès ont fait appaître deux rapports : AB/AC et CB/CA. Or d’après les figures AB = AC – BC. Comme dans les distances nous pouvons inverser les lettres, nous avons AB/AC = (AC-BC)/CA = (AC/CA) – (BC/CA) = CA/CA – CB/CA = 1 – CB/CA.

Pour résumer, nous avons l’équations (3) : AB/AC = 1 – CB/CA.

Grâce au côté AC nous pouvons relier les égalités des triangles rouge et bleu.

Rappelons les équations à lesquelles nous étions arrivés :

Rouge (1) :  AB/AC = BD/CE

Bleu (2) : CB/CA = CG/CH

Violet (3) : AB/CA = 1 – CB/CA

Dans l’équation Violet, nous pouvons remplacer AB/CA par BD/CE (grâce à l’égalité de l’équation Rouge) et CB/CA par CG/CH (grâce à l’égalité de l’équation Bleu). On obtient donc :

BD/CE = 1 – CG/CH

(longueur du bâton / hauteur de l’arbre) = 1 – (distance à l’arbre moins la longueur horizontale du bras / distance à l’arbre)

Variables et formule

Une variable est une appelation (nom ou lettre) que l’on peut remplacer par une valeur numérique (nombre). La longueur du bâton est une variable connue que je vais appeler s pour stick en anglais. La distance à l’arbre est une variable connue que je vais appeler L. La longueur du bras est une variable connue que je vais appeler b. La hauteur de l’arbre est une variable inconnue que je vais appeler h. La formule précédente devient donc :

s/h = 1 – (L-b)/L

L’objectif est d‘obtenir h qui est inconnue en fonction de s, l et b qui sont connues. L’égalité doit avoir cette forme : h = quelquechose.

s/h = L/L – (L-b)/L

Nous avons remplacé 1 par L/L.

s/h = (L – L + b)/L

Nous avons factorisé les deux termes sur le même dénominateur (/L). Nous notons que le - de la parenthèse (L – b) devient +.

s/h = b/L

h/s = L/b par inversion car b est différent de 0 (tout comme L),

h = h/s x s = L/b x s = Ls/b

h = Ls/b

La hauteur est égale à la distance à l’arbre multipliée par la longueur du bâton divisées par la longueur horizontale du bras.

Pour L = 10m, s = 80cm et b = 60cm, on a h = 13,3m. Pour conclure, il est conseillé de prendre un bâton qui fait la même longueur hozitontale que votre bras. On aura donc :

h = Ls/b = Lb/b = L

Si s = b, h = L.

Si le bâton et le bras ont même longueur, la hauteur d’un arbre est égale à la distance nous séparant de lui.

Il faudra vous placer loin...

Je vous ai décrit dans cet article comment mesurer un arbre dans la nature et expliqué comment cela fonctionne avec le théorème de Thalès et une équation (je vous montrerai prochainement comment on peut utiliser la trigonométrie aussi). Maintenant vous pouvez vous ballader dans un parc avec votre matériel pour trouver quel est le plus grand arbre (de la région de Rennes, Châteaubourg et Vitré en ce qui nous concerne) !

A bientôt,

Sylvain

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Lors d’une séance de soutien scolaire à domicile, l’intervenant fournit une prestation de qualité qui consiste en 12  travaux ! Ces 12 travaux mettent l’élève dans les meilleures conditions possibles afin qu’il réussisse sa scolarité à moyen terme. Moyen terme ? Et oui, bien que le professeur particulier à domicile donne une explication de qualité et arrive à faire comprendre les notions importantes à l’élève, ce dernier doit consolider ses nouvelles connaissances en travaillant plusieurs exercices ! Et ça, ce n’est pas au prof de le faire ! Apprendre son cours et travailler ses exercices ne font pas partie des 12 travaux du professeur !!!! Après un travail régulier de l’élève, celui-ci voit ses résultats augmenter à moyen terme.

Voici les 12 travaux du professeur répartis en quatre piliers Explications, Directives, Motivation, Remarques :

Explications

• Lancer le javelot à plus de 50 mètres.
• Le professeur teste l’élève sur différentes notions et détermine ses lacunes. A partir de ces éléments, il effectue un plan de travail en vue de l’objectif pour que l’élève acquiert les outils nécessaires à la réussite de son examen. Ces outils sont la connaissance du cours et la capacité à résoudre les exercices.
• L’intervenant doit expliquer le cours à l’élève et répondre à ses questions. L’élève doit tout comprendre car c’est une vision éclaircie du chapitre qui lui permet de réussir les exercices. Il est essentiel de lui faciliter la compréhension avec des exemples concrets et de lui donner des techniques de mémorisation du cours.

Le professeur explique soigneusement le cours et la résolution d'un exercice.

• Quand l’élève bloque sur un exercice, le professeur lui demande pourquoi il bloque et lui dit à quel endroit du cours il doit trouver l’élément qui résout le problème. S’il ne trouve pas, le professeur lui donne la solution et lui explique rigoureusement pourquoi elle fonctionne. De plus, le professeur s’assure que l’élève s’en souvienne à long terme (résolution d’un autre exercice du même type par exemple, note dans un carnet).

Directives

• L’élève reçoit du professeur des exercices à résoudre. Ceux-ci doivent être travaillés avant la séance suivante pour permettre leur correction. Si l’élève ne réussit pas à résoudre les exercices, le professeur lui explique comment faire. En plus des exercices, le professeur montre à son élève quelles parties du cours il doit apprendre par coeur. Effectuer le travail donné par le professeur est plus important que participer à la séance de soutien scolaire !!!
• Le professeur explique à l’élève comment il peut améliorer la gestion de son temps de travail grâce à des changements positifs dans son quotidien : cet article sur les bonnes habitudes à prendre les illustre.

Le professeur donne le travail à faire avant la séance suivante : il faut suivre ses directives !

• Le professeur donne à l’élève un maximum d’informations en un minimum de temps en lui donnant l’adresse de son blog de soutien scolaire et en l’invitant à le consulter régulièrement.

Motivation

• Donner confiance à l’élève en difficulté est essentiel pour sa réussite ! Celui-ci doit prendre conscience de ses capacités et comprendre qu’il est capable de réussir à condition qu’il prenne les armes et travaille courageusement. L’élève est d’autant plus motivé si celui-ci voue un intérêt aux mathématiques (ou à une autre matière) : notre article sur les idées RMfun va l’aider en ce sens.

Le professeur motive l'élève lorsque celui-ci est en difficulté : il le pousse à continuer le combat.

• Responsabiliser l’élève est la première chose à faire car il doit comprendre qu’il est le maître de son destin. Il lui appartient de décider quoi faire du temps qui lui est imparti : progresser ou ne rien faire. Ce n’est pas au professeur de prendre en charge sa vie quotidienne et future. Le professeur est le catalyseur (il met l’élève sur la bonne trajectoire et le fait avancer) mais pas le travailleur.
• Les temps sont parfois durs pour l’élève en difficulté et les bons résultats se font attendre. Dans ce cas, le professeur relativise les échecs temporaires auprès de l’élève et lui montrer ses progrès et l’encourager. Le professeur honnête dit à son élève combien de temps il lui faudra pour réussir un examen en fonction de son passé, de ses aptitudes, ses acquis, ses lacunes et ses progrès. Enfin, le professeur l’aide à aborder l’examen avec un minimum de pression.

Remarques

• Dès qu’un travail demandé  n’a pas été réalisé, le professeur fait une remarque négative à l’élève (sans toutefois le blesser) et lui demande de ne pas reproduire ce manquement. Si la situation se reproduit plus de trois fois, il prévient les parents (voir ci-dessous). Au contraire, un travail bien fait, l’assiduité et la régularité des efforts doivent être récompensés oralement.

Quand l'élève ne réalise pas le travail requis par le professeur, celui-ci n'est pas content et le lui fait savoir.

• Le professeur n’a aucun pouvoir légal sur l’élève donc il prévient les parents quand celui-ci ne s’investit pas assez dans le travail scolaire. En effet, c’est aux parents d’intervenir auprès de l’élève pour régler les problèmes de la volonté, d’effort scolaire et de communication avec le professeur si nécessaire.
• Quand l’élève ne fait rien dans l’apprentissage de ses cours quelque soit la bonne volonté du professeur, il vaut mieux cesser les séances en expliquant aux parents pourquoi l’on préfère stopper les séances. En effet, il est malhonnête d’empocher l’argent investi par les parents si l’on sait que l’élève ne fait aucun effort pour atteindre son objectif. Bien sûr, le professeur laisse la porte ouverte à une reprise des sessions quelques semaines plus tard si l’élève se ravise après s’être fait grondé par ses parents.

Je conclus cet article sur les 12 travaux du professeur en rappelant que la séance de soutien scolaire représente à peine 20% du travail total de l’élève. A lui de construire sa propre réussite grâce à l’intervention de son catalyseur de prof et surtout à son travail personnel chez lui !

A bientôt,

Sylvain

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