Du réel à l’imaginaire : carrés, racines et nombres complexes (1/2)

Bonjour à tous !

Avez-vous vu Finding Neverland au cinéma ? Ce film sorti en 2004 (l’un de mes favoris), est noté 7.9/10 sur l’imdb et a pour principaux acteurs, Kate Winslet et Johnny Depp (à voir absolument en Version Originale sous-titrée). L’histoire met en valeur l’imaginaire qui se décline comme un nouveau monde créé dans notre esprit à partir de nos pensées. L’imaginaire ne s’oppose pas à la réalité comme certaines personnes négationistes l’affirment (« La réalité existe seule, le reste n’est que bêtise. »), mais la complète. Toute personne peut vivre dans un monde composé d’une réalité et de ses imaginaires, le tout est de les créer et les traverser.

Où l'imaginaire vous emmènera.

Les mathématiques ont aussi leur réalité numérale : les objets qui la composent sont les nombres réels, ils s’étendent de moins l’infini à plus l’infini, en passant par les nombres négatifs, 0 et les nombres positifs. Je citerai, -1000, -3.5, -1, zéro, √2, deux, 7/8, 1000000 par exemple. Et puis un jour, apparut le nombre imaginaire puis ses congénères… Je vous invite à les découvrir en parcourant ces trois notions progressives :

1. le carré d’un nombre réel,
2. la racine carrée d’un nombre positif,
3. les nombres complexes.

Carré d’un nombre réel

Le carré d’un nombre est noté nombre² (avec un petit 2 en exposant) et est le produit de ce nombre par ce même nombre, c’est à dire nombre² = nombre x nombre. Par exemple, 2² = 2 x 2 = 4, 3² = 3 x 3 = 9. C’est aussi valable pour les nombres négatifs, (-10)² = -10 x -10 = 100 (car moins fois moins donne plus). Le carré d’un nombre négatif est égal au carré de son opposé (positif). En effet, le carré de la variable V est égal au carré de la variable -V : (-V)² = (-V) x (-V) = V x V = V². On peut donc affirmer que le carré d’un nombre réel est toujours positif ! Jusqu’ici les exemples que nous avons vu le confirment, bien que ce n’est pas une preuve : 4, 9, 100 ou V² avec V positif ou négatif.

Pour calculer cette surface (en m²), il faut multiplier le côté (en mètres) par lui-même : on obtient le carré du côté.

Le carré d’un nombre permet entre-autres de calculer la surface de la forme géométrique appelée carré à partir de son côté. Si on appelle C la variable valeur du côté, le calcul de la surface se fait en multipliant C par C soit Surface = C x C. La valeur Surface est bien un nombre carré : C² ! Attention, les élèves et peut-être votre enfant commet une lourde erreur avec le carré : ils confondent carré d’un nombre et multiplication par 2. J’ai déjà eu comme dialogue :

« - Alors Julien, quel est le carré de 4 ?

- Le carré de 4 ? Alors 4 x 2, ça fait 8 !

- Non, non et non. Le carré d’un nombre, c’est ce nombre multiplié par lui-même, pas par deux : il faut graver ça dans ta tête ! ».

Je viens de vous présenter le carré d’un nombre réel et le calcul de la surface de la forme géométrique carré, comment fait-on à l’inverse pour passer d’une surface au calcul d’un côté ? On utilise la racine.

Racine carrée d’un nombre réel positif

La racine carrée d’un nombre réel positif est l’opération (fonction transformant un nombre ou plusieurs en un autre nombre) inverse du carré. La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif appelé √nombre tel que √nombre x √nombre = nombre. Considérons le nombre positif 16. D’après la définition, la racine carrée de 16 est le nombre positif appelé √16 tel que √16 x √16= 16. Que vaut-il ? 3 ? Non car, 3 x 3= 9. Alors 5 ? Non, car 5 x 5 = 25. Bon bah 4 ? Oui, car 4 x 4 = 16 : √16 est donc égal à 4 . De plus, bien que (-4) x (-4) = 16, -4 n’est pas la racine carrée de 16 car la racine carrée est un nombre positif et -4 est négatif.

La racine carrée de 2 est le nombre positif √2 tel que √2 x √2 = 2.

Certains élèves font aussi une erreur avec la racine carrée d’un nombre (ce sont souvent les même que ceux de la partie précédente) : ils confondent racine carrée et division par deux. J’ai déjà eu ce dialogue :

« - Alors Maxime, quel est la racine carrée de 25 ?

- La racine de 25 ? Alors 25/2, ça fait euuh, 12.5 !

- Non, non et non. La racine carrée d’un nombre X, c’est le nombre positif √X qui multiplié par lui-même, donne X. Et non pas la moitié de X : il faut mettre ça dans ton cerveau ! ».

Si la surface du carré est égale à 2, son côté est égal à √2 : en effet, le côté est la racine carrée de la surface.

Revenons maintenant au calcul du côté du carré à partir de la surface. Si la surface vaut 2, le côté du carré vaut donc √2 qui vaut 1.41 au centième près. Nous pouvons imaginer un carré de surface 1 avec un côté de longueur 1. De même, un carré de surface 10000 m² a un côté de longueur 100m. En généralisant, on obtient un carré de surface réelle positif X auquel nous associons une fonction Racine √ pour calculer le côté. Nous écrivons cette fonction racine carré : X -> √X définie sur l’intervalle [0 , +∞[ donnant des racines dans le même intervalle. L'intervalle de définition de la fonction racine est l'ensemble des nombres réels positifs qui vont de 0 à +∞ (+ l'infini) car cette fonction ne s'occupe pas des nombres négatifs comme -1, -2, - 1000.

On peut définir une fonction "racine carrée", qui pour tout x égal ou supérieur à 0, calcule la valeur y tel que y fois y = x.

Je vous ai présenté dans cette seconde partie la notion de racine carrée qui est l’opération inverse du carré (carré : x -> x² définie sur ] -∞, +∞<[ donnant des carrés dans [0, +∞<[) que je vous ai présenté dans la première partie.

"- James, pourquoi la racine ne s'occupe-t-elle que des nombres positifs ?

- C'est comme ça Peter, il n'en peut être autrement dans la réalité.

- Mais pourquoi √-4 ne peut pas exister ? ça serait √4 x √- = 2 x √-. ça vaut combien √- ?.

- Laissons parler l' imaginaire et entrons dans le Neverland des nombres complexes..."

La première partie de notre voyage dans la réalité des nombres se termine ici : nous entrerons dans le Neverland numéral lors du prochain article.

A bientôt,

Sylvain

Pourquoi ?

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